CORDAS VIBRANTES

 

Cordas vibrantes são cordas em que as duas extremidades estão fixas. A corda põe-se em vibração afastando um dos seus pontos da posição de equilíbrio estável. São de extrema importância em Física.

No que toca à música, as cordas dos instrumentos musicais são cordas vibrantes por isso, o estudo do movimento das cordas vibrantes permite a compreensão do funcionamento dos instrumentos de corda (guitarra, piano, harpa, violino, viola, violoncelo, contrabaixo, etc).

Fazendo algumas deduções e utilizando a lei de Newton (o que não vai ser apresentado aqui), e considerando duas aproximações:

chegamos à chamada equação das ondas:

r ® densidade por unidade de comprimento

T ® tensão da corda

com

a velocidade de propagação da onda

 

Esta equação tem muitas aplicações em Física (nomeadamente permite estudar a propagação de ondas electromagnéticas), mas neste contexto das cordas vibrantes surge como uma equação de movimento aproximada.

A equação das ondas pode ser generalizada para dimensões superiores. Para duas dimensões, por exemplo, a equação fica

que permite descrever o movimento de membranas elásticas.

Existem métodos analíticos para resolver esta equação diferencial parcial. É necessário, porém, precisar as condições fronteira e as condições iniciais:

Condições fronteira

®

os extremos estão fixos

(corda vibrante)

®

y (x=0,t)= y (x=L,t)=0

Condições iniciais

®

a posição inicial da corda

(depende da forma como a percutimos)

®

y (x,t=0)=f(x)

 

®

a velocidade inicial da corda

(largamos a corda ® vel. Nula)

®

y / t (t=0) = 0

Impondo estas condições podemos obter uma solução da equação :

A® constante

Ou seja, para cada n existe uma solução. Isto quer dizer que existem infinitas soluções da equação. Mas se duas funções são soluções de uma equação diferencial a sua soma também o é. Por isso, a solução da equação que vamos considerar é

 

 

®

em que a constante de ponderação an depende da posição inicial, f(x).

Cada y n é o que se chama um modo próprio de vibração. Cada modo próprio vai ter uma frequência própria de vibração (no tempo) que se determina facilmente da última equação:

Verificamos, por isso, que os vários modos próprios vão todos ter uma frequência de vibração múltipla de uma frequência fundamental (n=1). As restantes frequências (n=2,3,…) chamam-se harmónicas. É esta lei, chamada Lei de Mersenne, que contém os princípios para a construção de instrumentos de corda.

A função y vai ser a soma de todos os modos próprios, ou seja, em cada instante, uma soma ponderada de infinitos senos de diferentes frequências, todas múltiplas de uma fundamental.

 

Como é que a posição inicial da corda pode influenciar a solução da equação obtida ?

posição inicial diferente

®

an diferente

®

ponderação em cada

diferente

 

 

A posição inicial não permite alterar a frequência fundamental ou das frequências harmónicas, mas sim as contribuições de cada harmónica para o som produzido.

Vejamos alguns casos reais conhecidos destas ponderações:

 

 

Fazendo um pequeno parêntesis, vamos enumerar quais as características fundamentais do som:

Intensidade

®

propriedade medida pela quantidade de energia transportada pela onda sonora

Altura

®

propriedade medida pela frequência fundamental ou 1ª harmónica

Timbre

®

propriedade determinada pelo número e intensidade das harmónicas

Verifica-se que a diferença na forma como a corda é percutida (um martelo que bate na corda no caso do piano e um arco que roça na corda no caso do violino), ou seja, na posição inicial da corda tem um papel importante no facto de os timbres dos dois instrumentos serem diferentes. Claro que o tamanho e a forma da caixa de ressonância do instrumento também vão ter a sua influência neste espectro, e portanto no timbre.

Em geral, num determinado som, podemos ter infinitas harmónicas sobrepostas. Porém, é possível percutir uma corda de tal forma que no som gerado só exista uma das harmónicas. Para verificar isso basta analisar alguns casos particulares da posição inicial:

 

®

a1=1

a2 = a3 = … = 0

®

=1ªharmónica ou fundamental

 

 

 

 

 

 

®

a2=1

a1 = a3 = … = 0

®

= 2ªharmónica

 

Se a posição inicial da corda fôr escolhida da forma só a harmónica n é que vai ser excitada. Na prática, a forma como percutimos a corda nunca consegue excitar apenas umas das harmónicas, daí que haja sempre várias harmónicas presentes em cada som.

 

Tomemos como exemplo a seguinte condição inicial dada pela função f(x) = x*(1-x)2

 

 

Calculando os coeficientes da transformada de Fourier, obtemos:

Vemos aqui que as primeiras harmónicas são as mais preponderantes, e que podemos descrever o sinal com boa aproximação pelas primeiras harmónicas.