Dimensionamento de instrumentos de corda

 Vimos atrás que a partir do estudo da corda vibrante estabelecemos (fórmula corda vibrante) e obtemos a velocidade da onda onde T é a tensão da corda e r a sua densidade por unidade de comprimento.

Da teoria da propagação de uma onda sabemos que um fenómeno oscilatório ao terminar um ciclo percorre um espaço l demorando um tempo t (periodo).

 Assim a sua velocidade é . Ora a definição de frequência é a de que ela é o inverso do período de tempo necessário ao fenómeno para completar um ciclo, t, pelo que fica , onde é u a frequência. Obtemos assim .

O que se pretende ao dimensionar um instrumento de cordas é determinar o tamanho da corda, a sua densidade e a tensão a que tem de estar sujeita de modo a obter a nota desejada.

Uma corda que vibra no modo fundamental (sem harmónicos) é caracterizada por um comprimento de onda duplo do seu tamanho.

 Assim , com L o comprimento da corda.

Como vimos na teoria da formação das escalas, a frequência de uma nota é dada por , onde F é a fundamental, r a razão da progressão da frequência, m a distância em meios-tons entre a nota pretendida e a fundamental e n o número de meios-tons existente numa oitava.

Conjugando estes dois dado obtemos . É, pois, com esta equação que se vai dimensionar a corda.

Imaginemos que temos uma dada corda com uma densidade por unidade de comprimento r , tamanho L e que queremos obter a fundamental previamente escolhida F. Qual será a tensão?

A resposta obtém-se directamente da fórmula anterior . Este processo chama-se afinar a corda e é o que fazemos quando afinamos, por exemplo, uma guitarra: ajustamos a tensão até obter a frequência desejada, isto é, a nota desejada, utilizando ou o ouvido musical ou instrumentos de afinação. É este processo que um afinador de pianos tem de realizar para cada nota do piano.

No entanto, numa guitarra ou num violino, por exemplo, costuma-se interromper a corda (com o dedo) num determinado ponto para se obter outra nota, ou seja, varia-se o comprimento da corda de modo a obter outra frequência. Sabemos, porém, que a tensão aplicada é sempre a mesma a partir do momento em que a corda está afinada, pelo que T é um dado do problema e foi calculado na fórmula anterior. Sabemos também, da teoria das escalas, que notas (ou frequências) é que queremos obter. Falta, pois, apenas calcular o ponto onde a corda deve ser interrompida.

Novamente da equação do dimensionamento das cordas obtemos

Concluímos daqui que o novo comprimento só depende do comprimento total da corda e da nota pretendida. É por esta razão que numa guitarra ou num violino, as posições onde se interrompem as cordas são as mesmas para todas as cordas, apesar de estas terem densidades diferentes e estarem sujeitas a tensões diferentes. Têm, porém, o mesmo tamanho, o que é o único requerimento.

Façamos um exemplo. Admitamos que para o comprimento L de 1 metro afinamos a corda de modo a obter um Lá a 440 Hz de frequência.

Para obtermos um Lá sustenido, meio tom acima do Lá, o comprimento será . Para o Si, pelo mesmo processo, , obtendo a tabela

  

m

L m (cm)

L- L m (cm)

0

100,00

0,00

Lá #

1

94,39

5,61

Si

2

89,09

10,91

3

84,09

15,91

Dó #

4

79,37

20,63

5

74,92

25,08

Ré #

6

70,71

29,29

Mi

7

66,74

33,26

8

63,00

37,00

Fá #

9

59,46

40,54

Sol

10

56,12

43,88

Sol #

11

52,97

47,03

12

50,00

50,00