A formação da escala temperada

O fenómeno do som consiste basicamente na propagação de uma onda de pressão no ar.

Do ponto de vista musical interessa produzir som com determinadas características físicas, como tais a presença de oscilações bem definidas (frequências bem determinadas) que possibilita a obtenção de um som sustentado, que mantem as suas características de freqûencia por um determinado número de ciclos, com a presença de harmónicos. (O timbre é característico de cada instrumento e não é relevante na teoria das escalas musicais, apesar de apresentar um forte efeito estéitico dando diversidade ao espectro de cada instrumento).

Tomemos, então, arbitrariamente, uma determinada frequência fundamental (de preferência dentro do espectro audivel humano!!!) como sendo a frequência padrão para a nossa primeira nota. A emissão desta nota é marcada pela presença de frequências harmónicasmultiplas inteiras da fundamental.

Admitimos assim que se produzirmos uma nota com frequência fundamental idêntica á de um dos harmónicos, obtemos uma sensação auditiva natural pois as notas encontram-se em "simpatia" (termo musical).

Construamos, pois, a nossa escala musical com uma estrutura de n graus (notas, semi ou meios-tons (os termos diferem todos uns dos outros na teoria musical mas serão aqui utilizados no mesmo sentido)) sequênciais entre a nossa nota fundamental e a nota correspondente ao primeiro harmónico da fundamental (oitava).

Surgem agora as questões de quantos graus devem existir e mais importante, que graus incluir nesta escala.

Precisamos, pois, de outra nota que dê estrutura à escala. É necessário, para que a escala nos pareça musicalmente equilibrada, que haja uma certa simpatia entre esta nova nota e a fundamental, mas que simultaneamente introduza diversidade de harmónicos, pois não se constrói música apenas com oitavas.

A opção mais simples é a de escolher uma frequência para a nossa nova nota (que é denominada a dominante) correspondendo a 3/2 da frequência fundamental, pois os seus harmónicos apresentarão a relação desejada:

Harmónico

Fundamental

Dominante

1

F

3/2 F

2

2 F

3 F

3

3 F

9/2 F = (3+6)/2 F

4

4 F

6 F

5

5 F

15/2 F = (9+6)/2 F

6

6 F

9 F

p

p F

3p/2 F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Deste modo temos presente na dominante harmónicos que alternadamente pertencem à fundamental (pares) ou não (ímpares). Note-se ainda que as frequências que não pertencem aos harmónicos da fundamental têm sempre o valor médio dos seus harmónicos vizinhos, o que confere á dominante um espectro de harmónicos muito bem equilibrado.

Determinada a nossa dominante falta estabelecer o modo como os graus progridem na escala. Sabemos para já que a frequência vai aumentar partindo da fundamental, passando pela dominante e atingindo a oitava.

Desejamos, porém, uma escala temperada, isto é, uma escala que permita ser transposta. A transposição é um conceito chave em teoria musical e consiste basicamente em que, dada uma composição musical que tenha como fundamental uma nota de frequência F, se alterarmos a fundamental para F subindo n meios-tons, todas as outras notas serão alteradas para notas de frequências ainda pertencentes às escalas e também n meios-tons acima da sua posição anterior. Daí que tenhamos partido de uma fundamental arbitrária.

Assim obtemos a escala como uma progressão geométrica de frequência de razão r. (Se a progressão fosse outra a escala não seria temperada).

 

 

 

 

 

Temos pois três "axiomas" para formar a escala, justificados utilizando termos físicos e da teoria musical:

    1. A escala estabelece-se na gama de frequências entre a fundamental (F) e a sua oitava (2F) com n notas;
    2. A escala contém uma nota (dominante) que tem a relação d com a fundamental D=d.F (d=3/25);
    3. A escala é temperada, isto é, as notas têm as frequências em progressão geométrica de razão r: Fm=F.rm.

Assim combinado 3 com 1 e 2:

 

 

 

Falta pois estabecer quantas nostas tem uma escala e a que grau corresposde a dominante. Combinando as duas equações obtemos

Sabendo que k e n são números naturais () e que, em geral, é um número real não vai ser possível obter sempre uma escala com uma dominante exacta, podendo sempre obter uma com um erro tão pequeno quanto o desejado.

Façamos isto para d=3/2. Obtemos a sucessão .

Calculemos agora r e a relação entre a dominante e a fundamental para estes 5 casos:

1,41421356237

1,41421356237

1,48698355

1,515716651

1,05946309436

1,49830707688

1,0170497444

1,50041943306

1,01316414302

1,49994090308

 

Vemos que a primeira opção (1/2) tem uma dominante bastante grosseira (1,414 3/2), mas já a segunda (3/5) é aceitável melodicamente (1,516 1,5). De facto escalas pentatónicas (de 5 notas) com a dominante na terceira nota são usadas na música tradicional Chinesa e Peruana e até por alguns autores de musica ocidental.

Uma muito boa aproximação é a escala de 12 meios-tons com a dominante no 7 meios tons acima da fundamental (7/12): a escala temperada ocidental (1,498 1,5).

Podemos ainda prever uma escala seguinte, ainda sem uso divulgado, (dir-se-ia mesmo apenas em uso experimental) uma escala com 41 meios-tons com a dominante no 24 meio-tom. No entanto parece complicado (e grande) um instrumento de teclado, por exemplo, com 41 notas por oitava e uma guitarra com divisões tão pequenas que nem os dedos caibam nos tratos.

No entanto estas duas últimas hipóteses são muito mais perfeitas a nível acústico, apesar de mais complexas e difíceis de manejar, pois têm uma dominante mais perfeita e próxima da quinta pura. Se levarmos o processo ao limite, r® 1 e d® 3/2, obteríamos uma dominante perfeita à custa de uma escala com infinitas notas (uma por cada uma das frequências possíveis no espectro).

A seguir, apresentamos os axiomas de forma gráfica, que são a ideia fundamental a reter deste texto. De notar que usámos argumentos de origem matemática, para quantificar algo que à partida não estaríamos à espera : o conseguirmos ou não fazer música de forma agradável e eficiente (do ponto de vista do intérprete).

É igualmente importante reter que a matemática aparece como ferramenta e não como objectivo último. Pelo meio impusemos a necessidade da existência de uma quinta que não podemos justificar senão com argumentos puramente estécticos e "experimentalistas".

1 - A escala estabelece-se na gama de frequências entre a fundamental (F) e a sua oitava (2F) com n notas;

 

 

2 - A escala contém uma nota (dominante) que tem a relação d com a fundamental D=d.F (d=3/25);

Harmónico

Fundamental

Dominante

1

F

3/2 F

2

2 F

3 F

3

3 F

9/2 F = (3+6)/2 F

4

4 F

6 F

5

5 F

15/2 F = (9+6)/2 F

6

6 F

9 F

p

p F

3p/2 F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 - A escala é temperada, isto é, as notas têm as frequências em progressão geométrica de razão r: Fm=F.rm.